Bases de um Espaço Vetorial
Cap. 03: Independência Linear, Dimensão de um Espaço Vetorial e Base de um Espaço Vetorial.
Introdução
No presente artigo serão abordados os temas relacionados as Bases de Espaços Vetoriais, o que nada mais são do que um subconjunto a partir do qual todo o espaço vetorial em questão pode ser construído.
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Ademais, este é o quarto artigo de uma série de artigos relacionados à 9ª edição do livro Álgebra Linear do professor Elon Lages Lima. Os assuntos tratados aqui são apresentados no capítulo 3 do referido livro.
Tópicos relacionados
- Independência Linear;
- Dimensão de um Espaço Vetorial;
- Definição do Subconjunto da Base de um Espaço Vetorial.
Independência Linear
Antes de começar a falar de fato sobre Bases de um Espaço Vetorial deve-se entender o conceito de Independência Linear. Assim sendo, primeiro veja como o livro descreve esse conceito.
Seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto X ⊂ E é linearmente independente (L.I.) quando nenhum vetor v ∈ X é combinação linear de outros elementos de X. Quando X é L.I., diz-se também que os elementos de X são vetores linearmente independentes.
Também, veja um Teorema muito útil para verificar se um conjunto é ou não Linearmente Independente.
Seja X um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se α₁v₁ + … + αₙvₙ = 0 com v₁ + … + vₙ ∈ X então α₁ + … + αₙ = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de X é aquela cujos coeficientes são todos iguais a 0, então X é um conjunto L.I..
Algumas observações a serem feitas, são que quando X é L.I. seus elementos são todos ≠ 0, uma vez que o vetor nulo é combinação linear de todos os outros: 0 = 0 ∙ v₁ + … + 0 ∙ vₙ. Além disso, no caso em que X = {v}, diz-se que X é L.I. se v ≠ 0, pelo mesmo motivo citado anteriormente.
Portanto, essas são a definição formal de Independência Linear e o critério matemático para analisar se um conjunto é L.I. ou não, todavia, caso o leitor esteja confuso e não tenha intimidade com o conceito de combinação linear, deixe-me explicá-lo brevemente.
Considere um conjunto qualquer A com 3 elementos A = {2, 5, 9}. Se tentarmos ver se algum desses elementos pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, é isso, matematicamente, que o leitor deve ter em mente que está sendo feito 2 = a∙5 + b∙9 ou 5= c∙2+ d∙9 ou 9= e∙2+ f∙5, onde, devemos ver se existe algum par (a, b) ou (c, d) ou (e, f) de números reais, tal que satisfaça a equação. Se for verdade para pelo menos um dos casos, então o conjunto que estamos analisando é dito como Linearmente Dependente, (o que é o caso do conjunto A), do contrário ele é Linearmente Independente.
Basicamente, um conjunto será Linearmente Dependente se um dos seus elementos for múltiplo de algum outro, ou, falando na linguagem de álgebra linear, se um dos elementos (vetor) for paralelo e coincidente com qualquer outro, ou seja, o ângulo entre esses dois vetores é 0. A imagem abaixo ilustra isso.
Para encerrar essa discussão, perceba que o nome Dependência Linear não é aleatório. Ele indica que se dois ou mais elementos de um conjunto possuem uma relação de Dependência Linear, quer dizer que eles fazem parte do mesmo espaço vetorial. Ou seja, esses vetores, por serem paralelos e coincidentes, pertencem a mesma reta, e a relação de “dependência” é deles para como a função que descreve essa reta, a qual, em termos de álgebra linear, é um espaço vetorial. Por fim, como o leitor pode perceber, esse espaço vetorial é linear (reta), por isso o uso dos dois termos (in)dependência e linearmente.
Espero ter conseguido o fazer divagar e ter um entendimento sobre esse conceito, já que as suas aplicações vão além do que está sendo apresentado aqui e aprende-lo, tanto matematicamente quanto filosoficamente, é de grande estima.
Dimensão de um Espaço Vetorial
Mais um conceito que deve ser introduzido para o completo entendimento sobre Bases de um Espaço Vetorial, é o conceito de Dimensão de um Espaço Vetorial.
A Dimensão de um Espaço Vetorial pode ser entendida como sendo a quantidade de componentes que os seus vetores possuem, ou seja, se v = (2, 0, 3, -6, 3) é um vetor pertencente a um espaço vetorial E, então podemos dizer que dim E = 5, onde utilizamos dim para fazer referência a dimensão do espaço vetorial em questão.
Sendo mais rigoroso, veremos a seguir que na verdade a Dimensão de um Espaço Vetorial é definida pelo número de elementos (cardinalidade) da sua Base.
Definição do Subconjunto da Base de um Espaço Vetorial
Agora sim, depois de debater sobre o conceito de Independência Linear e de Dimensão de um Espaço Vetorial, será introduzido o conceito de Bases de um Espaço Vetorial, o qual, como foi dito no inicio deste artigo, pode ser entendido como um conjunto no qual todo o espaço vetorial do qual ele pertence pode ser construído. Então, segue o conceito de Bases de um Espaço Vetorial.
Qualquer subconjunto X (subsepaço vetorial) de um espaço vetorial E finito de dimensão n, ou seja, X ⊂ E e dim E = n, no qual os seus elementos sejam Linearmente Independentes, é dito uma base de E.
Tendo isso em mente, para descobrirmos uma Base de um determinado espaço vetorial, basta analisar se o subconjunto candidato a ser Base é Linearmente Independente. Caso contrário, ele não será uma Base.
Sendo assim, o leitor deve estar se perguntando quais as vantagens de se determinar uma Base de um Espaço Vetorial em questão, e eu vos digo: TODAS!
Quando um conjunto é determinado como Base, então, podemos nos concentrar em analisar somente esse pequeno conjunto, ao invés de ter que analisar todos o espaço vetorial em questão, uma vez que, como o próprio nome sugere, esse conjunto denominado de Base, é, literalmente, a base na qual o espaço vetorial todo foi construído.
Isso tudo quer dizer que, todos os elementos do espaço vetorial em questão tem como núcleo, átomo, a menor unidade indivisível que os constitui, os elementos de um conjunto o qual foi definido como a Base daquele espaço vetorial. Por isso, que esse conjunto deve ser Linearmente Independente, já que isso garantirá que cada elemento ali é único.
Para clarear ainda mais a mente do leitor, lembre quantas vezes você já escreveu um vetor no plano cartesiano como algo do tipo: (2î, -3ĵ, 9k) e quando você perguntou para o seu professor o que significava essas letrinhas î, ĵ e k, ele lhe disse algo como “esses são os vetores canônicos”, ou, se você teve sorte, “esses são os vetores da Base Canônica”. Percebeu que há algo aqui que ainda não lhe foi explicado? Prepare-se para ter um momento de mind blowing.
Na verdade, essas letrinhas î, ĵ e k são a representação, no plano cartesiano de 3 dimensões, ou em uma linguagem mais precisa, em um espaço vetorial finito de dimensão 3, dos vetores: î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0) e k= (0,0,1), os quais formam a denominada Base Canônica do ℝ³. Assim sendo, todo e qualquer vetor que pertença a esse espaço vetorial pode ser escrito a partir da combinação linear desse vetores, da seguinte forma: v = a∙(1,0,0) + b∙(0,1,0) + c∙(0,0,1), onde v ∈ ℝ³ e a, b, c ∈ ℝ. Ademais, é por essa razão, que também sempre que vamos representar graficamente vetores começamos desenhando os famosos eixos x, y e z, ou em 2 dimensões x e y, os quais nada mais são do que elementos de um conjunto Base de seus respectivos espaços vetoriais.
Destarte, para encerrar essa discussão, apesar de serem utilizados exemplos com os espaços vetoriais ℝ³ e ℝ², note que tudo o que foi explicado é bem mais geral e, inclusive, vale para todo o ℝⁿ. Ademais, um espaço vetorial pode ter mais de uma Base, e no caso dos espaços vetoriais ℝⁿ o conjunto de Bases os quais possuem esses vetores unitários recebe o nome especial de Base Canônica.
Para finalizar este artigo, vale mostrar um Teorema apresentado no nosso livro base.
Seja E um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
(a) Todo conjunto X de geradores de E contém uma base
(b) Todo conjunto L.I. {v₁, … , vₙ}⊂ E está contido numa base
(c) Todo subespaço vetorial F⊂ E tem dimensão finita, a qual é ≤ n
(d) Se a dimensão do subespaço F⊂ E é igual a n, então F = E
Exercícios de Fixação
- Mostre que as matrizes a, b e c são L.I.:
2. Prove que os polinômios seguintes são linearmente independentes:
p(x) = x³ − 5x² + 1, q(x) = x⁴ + 5x + 2, r(x) = x² − 5x + 2
3. Exiba uma base para cada um dos subespaços vetoriais de ℝ⁴ listados a seguir:
F={(x₁, x₂, x₃, x₄); x₁ = x₂ = x₃ = x₄}
G={(x₁, x₂, x₃, x₄); x₁ = x₂ e x₃ = x₄}
H={(x₁, x₂, x₃, x₄); x₁ = x₂ = x₃}
K={(x₁, x₂, x₃, x₄); x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0}
Conclusão
Espero que você tenha absorvido o máximo de conhecimento possível e tente fazer os exercícios propostos. Lembrando, não há motivo para desespero caso algo tenha ficado para trás, você pode reler este material sempre que achar necessário. Não estamos em uma corrida. Lembre-se disso.
Para informações mais detalhadas e mais exercícios recomendo ler o terceiro capítulo do livro Álgebra Linear do professor Elon Lages Lima.
Caso queira entrar em contato comigo este é o meu e-mail: devdenisbr@gmail.com.
